Методична робота

Методичні рекомендації викладання математики в 2015-2016 році


Математика – область людського знання, що вивчає математичні моделі, які відображають об’єктивні властивості і зв’язку. Це – мови науки, царина, що дала людству зручні способи опису найрізноманітніших явищ реального світу. Математика дає людям методи вивчення і пізнання навколишнього світу, методи дослідження як теоретичних, так і практичних проблем. Сучасна математика об’єднує різні галузі знання в єдину систему. Цей процес синтезу наук знаходить своє відображення і в динаміці понятійного апарату. Для того, щоб суспільство рухалося вперед у своєму розвитку, потрібні не тільки «кращі уми», а й свіжі ідеї. Саме тому зростає потреба в креативних людях, у яких сформоване нестандартне мислення, які володіють широким кругозором та гнучким розумом. Отже, головною умовою розвитку цивілізації є розвиток людського інтелекту. І саме в цьому полягає роль математики в сучасному суспільстві.

Державні потреби в достатньому рівні математичної підготовки в загальноосвітній школі та соціокультурні пріоритети шкільної математичної освіти, зазвичай, задекларовано в цілях навчання математики. На визначення цілей навчання математики (як й інших шкільних предметів) впливають прагматичні, економічні, ідеологічні вимоги суспільства. Від того, який із зазначених чинників переважає в суспільній свідомості в той чи інший історичний проміжок часу, залежить орієнтація цілей навчання, визначення освітніх орієнтирів, що вважаються суспільством невід’ємною частиною власного розвитку.

Стратегічною метою математичної освіти в загальноосвітньому навчальному закладі є розвиток і саморозвиток школярів шляхом оволодіння математичними знаннями й видами діяльності; забезпечення їх математичної грамотності для свідомого вибору профілю подальшого навчання. Фахівці з методики викладання математики, які складають навчальні програми для шкіл різного профілю, часто ставлять запитання про те, які саме розділи математики необхідні в тій чи іншій професії. У наш час стрімкого розвитку науки й техніки, нових технологій, коли деякі професії відмирають, а на їх місці виникають нові, відповісти на це запитання досить важко.

Ураховуючи широкий спектр професій, ще важче передбачити майбутні професії учнів конкретного навчального закладу. Програми мають забезпечити базову математичну підготовку на випадки різних професій.

 Навчання математики в основній школі передбачає передусім формування предметної математичної компетентності, сутнісний опис якої подано в розділі «Державні вимоги до загальноосвітньої підготовки учнів» цієї програми. Крім того, воно має зробити певний внесок у формування окремих ключових (більш загальних, що виходять за межі одного предмета) компетентностей, зокрема загальнонавчальної (уміння вчитися), комунікативної (здатності грамотно формулювати і висловлювати судження), загальнокультурної та інших.

Формування зазначених компетентностей підпорядковується реалізації загальних завдань шкільної математичної освіти, що здійснюється на всіх ступенях школи.

До них належать: – формування ставлення учнів до математики як невід’ємної складової загальної культури людини, необхідної умови її повноцінного життя в сучасному суспільстві на основі ознайомлення з ідеями й методами математики як універсальної мови науки і техніки, ефективного засобу моделювання та дослідження процесів і явищ навколишнього світу; – забезпечення оволодіння учнями математичною мовою, розуміння ними математичної символіки, математичних формул і моделей як таких, що дають змогу описувати загальні властивості об’єктів, процесів та явищ; – формування здатності логічно обґрунтовувати та доводити математичні твердження, застосовувати математичні методи в процесі розв’язування навчальних і практичних задач, використовувати математичні знання та вміння 262 під час вивчення інших навчальних предметів; – розвиток умінь працювати з підручником, опрацьовувати математичні тексти, шукати і використовувати додаткову навчальну інформацію, критично оцінювати здобуту інформацію та її джерела, виокремлювати головне, аналізувати, робити висновки, використовувати отриману інформацію в особистому житті; – формування здатності оцінювати правильність і раціональність розв’язування математичних задач, обґрунтовувати твердження, приймати рішення в умовах неповної, надлишкової, точної та ймовірнісної інформації.

Крім цих загальних освітніх завдань в основній школі реалізуються такі специфічні для даного етапу навчання математики освітні завдання: – розширення знань учнів про число (від вивчених у початковій школі натуральних чисел до дійсних), формування культури усних, письмових, інструментальних обчислень; – формування системи функціональних понять, умінь використовувати функції та їх графіки для характеристики залежностей між величинами, опису явищ і процесів; – забезпечення оволодіння учнями мовою алгебри, уміннями здійснювати перетворення алгебраїчних виразів, розв’язувати рівняння, нерівності та їх системи, моделювати за допомогою рівнянь реальні ситуації, пояснювати здобуті результати; – забезпечення оволодіння учнями мовою геометрії, розвиток їх просторових уявлень і уяви, умінь виконувати геометричні побудови за допомогою геометричних інструментів (лінійки з поділками, транспортира, косинця, циркуля та лінійки); – формування в учнів знань про геометричні фігури на площині, їх властивості, а також умінь застосовувати здобуті знання в навчальних і життєвих ситуаціях; – формування в учнів уявлення про найпростіші геометричні фігури в просторі та їх властивості, а також первинних умінь застосовувати їх у навчальних і життєвих ситуаціях; – ознайомлення учнів зі способами і методами математичних доведень, формування умінь їх практичного використання; – формування в учнів знань про основні геометричні величини (довжину, площу, об’єм, міру кута), про способи їх вимірювання й обчислення для планіметричних і найпростіших стереометричних фігур, а також уміння застосовувати здобуті знання в навчальних і життєвих ситуаціях; – вивчення геометричних перетворень площини (рухів, подібності) та їх найпростіших властивостей, а також розвиток в учнів функціональних уявлень на геометричному змісті; – ознайомлення учнів з основами методу координат і векторного методу.

Причинами виникнення проблеми є: недосконалість змісту шкільної освіти внаслідок невизначеності пріоритетних напрямів навчання, перевантаження природничо-математичних предметів фактологічним і другорядним матеріалом; низька якість окремих підручників із природничо-математичних предметів; незадовільний стан матеріально-технічного забезпечення загальноосвітніх навчальних закладів.

Разом із тим, існує ціла низка професійно-математичних питань, що мають місце в курсі вивчення математики з 5-го до 11-го класу, які також впливають на низький рівень знань із предмета. Протягом 2014/15 н.р. проаналізовано дані питання та визначено ряд шляхів щодо вдосконалення методики викладання шкільної математики.

Професійно-математичні питання, що мають місце в курсі вивчення  математики з 5-го до 11-го класу 1. Проблема наступності, «початкова школа – середня ланка (ступінь)», коли проявляються: розбіжність у методиці розв’язування задач, рівнянь та в рівнях складності завдань... 2. Проблема вивчення геометричного матеріалу в 5-му класі в рамках вивчення теми «Натуральні числа» – вона для багатьох учнів «губиться» серед різноманітності завдань на розрахунки з натуральними числами. 3. Проблема розвитку просторової уяви підлітків та можливості практичного застосування математичних знань. 4. Проблема вивчення основних «китів» шкільного курсу алгебри: формул скороченого множення та їх застосування, розкладання на множники кількома способами та інших, що закладаються у 7-му класі. 5. Проблема вивчення основних «китів» шкільного курсу геометрії: аксіом, теорем, властивостей фігур та інших, що закладаються у 7–8-х класах. Мета такої роботи в середній школі: надати учням можливість переходити в клас/групу учнів на заняття, де поглиблено вивчатиметься певний предмет, зокрема математика. Темою та змістом таких занять має бути «паралельна» шкільному курсу математика з доповненнями стосовно варіантів (способів, випадків) розв’язування тематичних задач. По завершенню 9-го класу – вибір профільної освіти... 6. Найбільш гостра проблема – проблема міжпредметних зв’язків, від якої потерпають: географи, коли раніше за математиків знайомлять із мапою та використовують масштаб; фізики, коли використовують стандартний вид числа або пояснюють степені та будують графіки функцій; хіміки, коли складають пропорції або з відповідної формули виражають одну зміну через іншу, ... Від цієї проблеми страждають і самі ж викладачі математики, бо учні не бачать, де, коли і як саме використовують математичні твердження, закони, для чого їм потрібні набуті знання, уміння, навички. 7. Проблема послідовності вивчення тем у курсі «Геометрія – 9». На сьогоднішній день, сучасна програма пропонує «Початкові відомості зі стереометрії», яку доцільніше, на наш погляд, буде вивчати на початку 10-го класу. 8. Проблема вивчення розділу «Тригонометрія» у 10-х класах. 9. Проблема наповнюваності профільних класів, яка, звісно, має можливість бути розглянутою на місцевому рівні, але, частіше за все, не може бути розв’язаною через скудність місцевих бюджетів. Розв’язання проблеми можливе за умови об’єднання зусиль центральних органів виконавчої влади та місцевих органів управління освітою шляхом виконання Державного стандарту базової і повної загальної середньої освіти (листопад 2013 р.). Зрозуміло, що всі вище зазначені проблеми впливають на якість підготовки випускників до складання зовнішнього незалежного тестування, а також на здатність майбутніх студентів опанувати програмний матеріал не тільки з вищої математики, а також і сумісних дисциплін.

Нові програми з математики (джерело: http://old.mon.gov.ua/files/normative/2015-06- 26/4115/lmon_26062015_1_9_305.zip  ) Зміст навчального матеріалу структуровано за темами відповідних навчальних курсів із визначенням кількості годин на їх вивчення. Такий розподіл змісту і навчального часу є орієнтовним. Учителеві та авторам підручників надається право коригувати його залежно від прийнятої методичної концепції та конкретних навчальних ситуацій. Наприкінці кожного року навчання передбачено години для повторення і систематизації вивченого. 264 Зміна кількості змістових ліній за новою програмою пов’язана з поділом змістової лінії «Елементи комбінаторики, теорії ймовірностей та статистики» на дві самостійні – «Елементи комбінаторики» та «Початки теорії ймовірностей та елементи статистики». Таким чином зміст математичної освіти в основній школі структурується за такими змістовими лініями, як: – числа; – вирази; – рівняння і нерівності; – функції; – геометричні фігури; – геометричні величини; – елементи комбінаторики; – початки теорії ймовірностей та елементи статистики. У 2015/16 навчальному році 7 класи загальноосвітніх навчальних закладів продовжать навчання за програмою «Математика. Навчальна програма для учнів 5–9 класів загальноосвітніх навчальних закладів» (авт.: М. Бурда, Ю. Мальований, Є. Нелін, Д. Номіровський, А. Паньков, Н. Тарасенкова, М. Чемерис, М. Якір), затвердженою наказом Міністерства освіти і науки України від 29.05.2015 № 585 «Про затвердження змін до навчальних програм для загальноосвітніх навчальних закладів ІІ ступеня» та розміщеною на сайті Міністерства освіти і науки України (www.mon.gov.ua/ua//activity/education/56/general-secondary-education/educational_ programs/1349869088/).

 Звертаємо увагу, що до навчальної програми з математики внесено зміни, викликані потребою розвантаження навчального матеріалу. Так, із курсу математики у 5–6 класах вилучено елементи комбінаторики й теорії ймовірностей. Учні не зобов’язані більше набувати вмінь розв’язувати найпростіші комбінаторні задачі шляхом розгляду можливих варіантів і на прикладах пояснювати поняття випадкової події та ймовірності появи випадкової події. Програма для 7 класу зазнала таких змін: із курсу геометрії вилучено задачі на побудову, у зв’язку з цим перерозподілено час між темами.

Також спрощено державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів. За Типовими навчальними планами загальноосвітніх навчальних закладів, затвердженими наказом МОН від 29.05.2014 № 664, на вивчення математики у 7 класі відводиться 4 години на тиждень (2 години алгебри і 2 години геометрії). У основу побудови змісту й організації процесу навчання математики у 7 класі покладено компетентнісний підхід, відповідно до якого кінцевим результатом навчання предмета є сформовані певні компетентності учнів. Їх сутнісний опис подано в програмі в розділі «Державні вимоги до рівня загальноосвітньої підготовки учнів».

Починаючи з 7 класу, вивчаються два математичні курси: алгебра і геометрія. Основними завданнями курсу алгебри є формування вмінь виконання тотожних перетворень цілих і дробових виразів, розв’язування рівнянь і нерівностей та їх систем, достатніх для вільного їх використання у вивченні математики й суміжних предметів, а також для практичних застосувань математичного знання. Важливе завдання полягає в залученні учнів до використання рівнянь і функцій як засобів математичного моделювання реальних процесів і явищ, розв’язування на цій основі прикладних та інших задач. У процесі вивчення курсу посилюється роль обґрунтувань математичних тверджень, індуктивних і дедуктивних міркувань, формування різноманітних алгоритмів, що має сприяти розвитку логічного мислення та алгоритмічної культури школярів. Основу курсу становлять перетворення цілих раціональних виразів. Важливо забезпечити формування вмінь школярів вільно виконувати основні види перетворень таких виразів, що є передумовою подальшого успішного засвоєння курсу та 265 використання математичного апарату під час вивчення інших шкільних предметів. Істотного розвитку набуває змістова лінія рівнянь та нерівностей. Відомості про рівняння доповнюються поняттям рівносильних рівнянь. Процес розв’язування рівняння трактується як послідовна заміна даного рівняння рівносильними йому рівняннями. На основі узагальнення відомостей про рівняння, здобутих у попередні роки, вводиться поняття лінійного рівняння з однією змінною. Розглядаються системи лінійних рівнянь із двома змінними. Значне місце відводиться застосуванню рівнянь до розв’язування різноманітних задач. Важливе значення надається формуванню вмінь застосовувати алгоритм розв’язування задачі за допомогою рівняння. У 7 класі вводиться одне з фундаментальних математичних понять – поняття функції. Також вводиться поняття лінійної функції та її графіка. Ці відомості використовуються для графічного ілюстрування розв’язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь із двома змінними. Функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається в тісному зв’язку з тотожними перетвореннями, рівняннями й нерівностями. Властивості функцій, як правило, встановлюються за їх графіками, тобто на основі наочних уявлень, і лише деякі властивості обґрунтовуються аналітично. У міру оволодіння учнями теоретичним матеріалом кількість властивостей, що підлягають вивченню, поступово збільшується. Під час вивчення функцій значна увага має відводиться формуванню вмінь будувати й аналізувати графіки функцій, характеризувати за графіками функцій процеси, що вони описують, спроможності розуміти функцію як певну математичну модель реального процесу.

Головна лінія курсу геометрії – геометричні фігури та їх властивості. Основними поняттями курсу є точка, пряма, площина, належати, лежати між. Перші три поняття – це основні геометричні фігури, а два останніх – основні відношення. Це неозначувані поняття – для них не формулюються означення, але їх зміст розкривається через опис, показ, характеристику. Інші поняття курсу визначаються, а їх властивості встановлюються шляхом доказових міркувань. Учень має усвідомити, що під час доведення теорем можна користуватися означеннями, аксіомами і раніше доведеними теоремами. Фігури, що вивчаються у 7 класі, – точка, пряма, відрізок, промінь, кут, трикутник, коло, круг. Учень повинен формулювати означення планіметричних фігур та їх елементів, зображати їх на малюнку, класифікувати. У 7 класі учні ознайомлюються з основами геометричної науки – означеннями, аксіомами, теоремами, основними методами доведення теорем. Поглиблюються і систематизуються відомості про геометричні величини: довжину, градусну міру кута, площу, об’єм.

У навчально-виховному процесі можна використовувати підручники з алгебри та геометрії для 7 класів загальноосвітніх навчальних закладів, що видані в попередні роки й мають відповідний гриф Міністерства освіти і науки України. При цьому слід зважати на особливості нової програми, оскільки вона відрізняється порядком викладення матеріалу та певними спрощеннями.

На допомогу вчителю математики сьогодні розроблено велику кількість ресурсів, що допоможуть учителю математики зробити свої уроку більш пізнавальними та цікавими, наприклад: 3д моделі-ілюстрації – http://www.3dg.com.ua /; академія Салмана Хана – https://www.youtube.com/user/KhanAcademyUkrainian . Під час підготовки вчителів до уроків радимо використовувати періодичні фахові видання: «Математика в рідній школі», «Математика», «Математика в школах України».

Новий закон про освіту: сподівання та виклики

Вимушений зазначити з самого початку про надмірно високі очікування освітян щодо проекту нового закону. А причина цього явища дуже проста: не відчуваючи поки що у повсякденному шкільному житті багаторазово анонсованих сутнісних змін, учителі та керівники шкіл на запитання «чому, коли і як?» отримують однозначні відповіді: «тому, що для цього треба змінити закон!»,  «тоді, коли з’явиться новий закон!», «буде так, як пропише новий закон!» Ну, просто очікування освітнього чуда…

Тепер по суті, тезово про найважливіші напрями. Структура шкільної освіти досить швидко і практично безболісно склалася: 5+4+3=12. Чому швидко? Оскільки у нас поки що початкова школа 4-річна, а у більшості цивілізованих країн вона 6-річна, то вийшли на компроміс – 5 років. Пречудово, крок перший зроблено. Крок другий: і у нас, і у «них» базова школа завершується на 9-му році навчання. Непогано, так і залишимо. Тільки введемо ЗНО і на цьому етапі. Далі: на початку двохтисячних вже впроваджували, а потім відмінили повну 12-річну освіту, що існує у більшості країн світу. Отже, повернемося до цієї структури у двох варіаціях: старша академічна школа та старша професійна школа.

Але і у визначенні структури залишилися без чіткої відповіді принаймні три проблеми. Перша. Обов’язковість залучення до першого класу усіх 6-річок або можливість починати навчання також із 7-річного віку. Друга. Чи потрібно захистити академічну шкільну освіту у 10-12 класах від учнів, які (за підсумками ЗНО) втратили мотивацію до подальшого вступу в університети? Якщо так, то  яким чином? Третє. У проекті Закону старша професійна школа, крім власне отримання тієї чи іншої робочої професії для виходу на ринок праці, надає повну загальну середню освіту (зрозуміло, що іншого, не академічного рівня). Але тоді чи не потрібно учням академічних шкіл надати також, за їхнім бажанням, право отримувати паралельно якусь робочу професію, що дала б їм змогу не «сидіти на шиї батьків» під час вузівського навчання?

Зміст освіти. Поки що зрозуміло тільки одне: шкільні програми з усіх предметів від 1-го по 12-й клас треба складати заново, бо чинні програми нікуди не годяться. Проблема: хто буде цим кваліфіковано та неупереджено займатись? Вчителі та керівники шкіл, на жаль, не мають з цього приводу довіри ні до численних інститутів підпорядкування АПНУ або МОНУ, ні до обласних ІППО, ні до педагогічних університетів, уже не кажучи про районні методичні кабінети.

Соціальний статус педагога. І тут маємо кілька викликів. Перший. Заробітну плату учителя потрібно суттєво, в рази підвищувати, але коштів у бюджеті на усіх не вистачить. Тому в  законі прописується, що підвищення насамперед стосуватиметься тих майстрів своєї справи, які пройдуть відповідну сертифікацію. Але знову ж таки виникає запитання: яка інституція здатна до неупередженої професійної експертизи педагогів? На сьогодні вона не простежується. Другий – про директорів шкіл. Їхня зарплата на сьогодні в деяких відсотках залежить від чисельності учнів та типу школи; на неї абсолютно не впливають ні професійна кваліфікація керівника, ні рейтинг школи. Але поки що в проекті нового закону рівні та критерії кваліфікації директора школи відсутні.

Не можна також погодитись з однозначним віднесенням сучасного керівника школи за освітою виключно до педагога. Доцільно норму закону поширити і на економічну, юридичну, технічну вищі освіти (принаймні, як виключення) залежно від типу школи та її профілю.

Третій. Крім заробітної плати, варто в законі передбачити і соціальний пакет педагога. Більш принизливого становища, в якому вчитель опиняється при хронічному захворюванні, хірургічній операції або виході на пенсію, важко навіть передбачити порівняно з представниками так званих ринкових професій.

Управління та фінансування. Думки експертів розділилися. Так звані реформатори вважають, що єдиний шлях суттєвого підвищення якості освіти та економного розподілу обмежених коштів бюджету полягає у трьох принципових речах:

делегуванні кожній школі максимально доречної автономії в управлінні, фінансах, навчальній діяльності;

перетворенні відділів освіти РДА на сервісні центри;

зміні формули фінансування у бік «кошти йдуть за учнем».

Так звані консерватори, навпаки, вважають, що заміна чинної системи управління та фінансування призведе до руйнації шкіл. Головним лозунгом цих експертів є «дайте освіті більше коштів, і тоді буде все нормально».

Окремо від зазначених вище альтернативних варіантів неминуче виникають принаймні ще три запитання до розробників закону.

1.   Чому в європейських (і не тільки) країнах саме на шкільну освіту виділяється основна (до 80 %) частина від загального бюджету коштів на всі види  освіти (дошкільна, загальна середня, вища, професійна, позашкільна), а в Україні багаторічно закладається норма майже вдвічі менша (40-41 %)?

2.  Чому в нашій країні з обмеженою, кризовою економікою досі бюджетні кошти на шкільну освіту розпорошуються за тими напрямками, які дуже опосередковано впливають на кінцевий продукт – «освіта конкретного учня»?

3.   Чому навіть у країнах з потужною економікою (США) або з некритичною економікою (Польща) вже досить давно узаконені механізми державно-громадського партнерства на зразок «чартерних» або «сполечних» шкіл, а в Україні продовжується небезпечна гра у так звані «благодійні добровільні внески батьків»?

Дивно очікувати європейську якість освіти в наших школах, якщо на 1 учня на рік виділяється не більше 400€, а в Європі до 7000€. Важко мотивувати учителя на кваліфіковану діяльність , якщо його зарплата у кращому разі доходить до 150€, а у сусідній Польщі до 1000€.